App Curves Visualizer

# App Kurvenvisualisierung für Android

**Englisch** | [Български](README.bg.md)

Eine App zur Visualisierung von Raumkurven und zur Berechnung ihrer differentialgeometrischen Größen.

## Verwendung der App

- Geben Sie `x(t)`, `y(t)`, `z(t)` und ein Intervall `[a, b]` ein und tippen Sie anschließend auf **Zeichnen**.

- Mit dem Schieberegler bewegen Sie den Punkt entlang der Kurve; alle Größen werden für das aktuelle `t` aktualisiert.

- Drehen Sie die Kurve mit dem Finger. Das Kontrollkästchen schaltet den Schmiegkreis ein/aus.

- Syntax (exp4j): `+ - * / ^`, `sin cos tan asin acos atan sinh cosh tanh exp log sqrt abs`, Konstanten `pi` und `e`. Beispiel: `2*sin(t)^2`.

## Punktetabelle

Das Tabellensymbol öffnet ein separates Fenster („PointsActivity“) mit den Koordinaten x(t), y(t), z(t) der Punkte der aktuellen Kurve. Legen Sie **t von**, **t bis** und die **Schrittweite** fest und tippen Sie anschließend auf **Berechnen**. Standardmäßig werden das aktuelle Intervall und ein Zehntel seiner Länge verwendet. Es werden bis zu 2000 Punkte angezeigt. Der Text ist auswählbar und kann kopiert werden.

## Kurven speichern

- **Speichern (Disk-Symbol):** Speichert die aktuelle Kurve (x, y, z und Intervall) unter einem Namen. Beim Speichern unter einem bereits vorhandenen Namen wird dieser überschrieben.

- **Meine Kurven (Ordner-Symbol):** Listet gespeicherte Kurven auf. Tippen Sie auf eine Kurve, um sie zu laden und zu zeichnen; halten Sie sie gedrückt, um sie zu löschen.

- Kurven werden auf dem Gerät (SharedPreferences) gespeichert und bleiben auch nach einem Neustart der App erhalten.

## Menü (⋮)

Die obere Leiste enthält Symbole für „Speichern“ und „Meine Kurven“ sowie Beispiele und Sprache (sofern Platz vorhanden) und ein ⋮-Überlaufmenü (Über):

- **Beispiele:** Helix, Kreis, verdrehte kubische Kurve, Viviani-Kurve, Kleeblattknoten. Durch Auswahl eines Beispiels werden die Felder ausgefüllt und die Kurve gezeichnet.

- **Sprachen:** Automatisch (System), Englisch, Bulgarisch, Französisch, Deutsch, Spanisch.

- **Hilfe:** Eine Kurzbeschreibung der App, Links zu anderen Apps des Autors und Hilfe für diese App.

## Sprachen

Die Benutzeroberfläche ist in Englisch (Standard), Bulgarisch, Französisch, Deutsch und Spanisch verfügbar. Standardmäßig wird die Sprache des Telefons verwendet. Über das Menü kann die Sprache manuell ausgewählt werden (die Auswahl wird gespeichert). Um eine Sprache hinzuzufügen, kopieren Sie `res/values/strings.xml` nach `res/values-XX/` (XX ist der Sprachcode), übersetzen Sie die Werte und fügen Sie dann den Code zu `LANG_CODES` und den Namen zu `setupLanguageSpinner()` in `MainActivity.java` hinzu.

## Angezeigte Größen

| Größe | Formel | Bedeutung |

| **r(t)** | (x(t), y(t), z(t)) | Position des Punktes |

| **\|r'\|** (Geschwindigkeit) | √(x'² + y'² + z'²) | Geschwindigkeit entlang der Parametrisierung |

**s** (Bogenlänge) | ∫ₐᵗ \|r'(u)\| du | Zurückgelegte Strecke von a nach t (Simpsonsche Regel) |

**κ** (Krümmung) | \|r' × r''\| / |r'|³ | Krümmungsgeschwindigkeit der Kurve. Gerade: 0. Kreis mit Radius R: 1/R |

ρ (Krümmungsradius) | 1/κ | Radius des optimalen Kreises. ∞ für κ = 0 |

τ (Torsion) | (r' × r'')·r''' / |r' × r''|² | Auslenkung der Kurve aus der Ebene. Ebene Kurve: 0. Rechtshändig: τ > 0, linkshändig: τ < 0 |

T (Tangente) | r' / |r'| | Einheitsvektor in Bewegungsrichtung (rot) |

N (Hauptnormale) | B × T | Einheitsvektor zum Krümmungsmittelpunkt (grün) |

B (Binormale) | (r' × r'') / |r' × r''| | Senkrecht zur Schmiegebene (blau) |

| **a_T** | (r'·r'') / |r'| | Tangentialbeschleunigung: Geschwindigkeitsänderung |

| **a_N** | κ·|r'|² | Normalbeschleunigung: Richtungsänderung. Die Gesamtbeschleunigung ist a_T·T + a_N·N |

| **Krümmungsmittelpunkt** | C = r + ρ·N | Mittelpunkt des Schmiegkreises |

**Schmierkreis** | liegt in der (T, N)-Ebene, Mittelpunkt C, Radius ρ | Der Kreis, der die Kurve in höchster Ordnung im Punkt (orange) berührt |

### Ebenen des Bezugssystems

- **Schrägebene:** aufgespannt von T und N, Normalenvektor B

- **Normalenebene:** aufgespannt von N und B, Normalenvektor T

- **Rektifizierende Ebene:** aufgespannt von T und B, Normalenvektor N

### Frenet-Serret-Formeln

(s ist die Bogenlänge)

- dT/ds = κ·N

- dN/ds = −κ·T + τ·B

- dB/ds = −τ·N

Krümmung und Torsion bestimmen eine Kurve bis auf eine starre Bewegung des Raumes eindeutig.

## Funktionsweise

r', r'' und r''' werden numerisch mit zentralen Differenzen (Schrittweite H = 10⁻³) berechnet, anschließend werden die Formeln angewendet. Die Bogenlänge wird mithilfe der Simpson-Regel (200 Intervalle) bestimmt.